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Fireタブレットの場合、機能制限の多くはタブレット側で設定しますが、「Amazonプライムサービスの設定」は「Amazonのアカウントサービス」から行う必要があります。
特に「Prime Video(プライム・ビデオ)」の設定はお子さんが使うタブレットには必要と思われるので確認してみてください。
設定は簡単
「プライム・ビデオ」の設定はAmazonさんの「アカウントサービス」から変更できます。

「アカウントサービス」で「Prime Videoの設定」を選択
オススメ設定はこちら
「プライム・ビデオ」のオススメ設定はこちらです。

「プライム・ビデオ」オススメ設定
公式ヘルプもどうぞ
設定やトラブルでわからないことはAmazonさんの公式ヘルプ「Amazonデバイス サポート」も確認してみてください。
デバイスごと、項目ごとに詳しく説明されていて便利ですよ。
なお、Fireタブレットは世代ごとにヘルプが用意されていますので「Fireタブレットの見分け方」も参考にしてみてください。